Công thức đạo hàm hàm lượng giác

Bài toán 1:  Chứng minh $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x}{\sin{x}}=1$

Theo hình vẽ trên, ta có:
$\begin{cases} {\alpha=\dfrac{\widehat{AOB}}{2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\stackrel\frown{AB}}{R}=\dfrac{\stackrel\frown{AB}}{2R}(rad)} \\ \\ {\sin{\alpha}=\dfrac{HB}{OB}=\dfrac{AB}{2R}}  \ \end{cases} $
$\Rightarrow\dfrac{\alpha}{\sin{\alpha}}=\dfrac{\stackrel\frown{AB}}{AB}$
Khi $\alpha\to0$ thì ta được:
$\displaystyle\lim_{\alpha \to 0}\dfrac{\alpha}{\sin{\alpha}}=\displaystyle\lim_{\alpha\to0}\dfrac{\stackrel\frown{AB}}{AB}=1$ (Vì $\alpha\to0$ thì $\stackrel\frown{AB}\to AB$)
Đặt $\alpha=x$
Vậy $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin{x}}=1$ (Điều phải chứng minh)

Bài toán 2: Chứng minh $(\sin{x})'=\cos{x}$
Ta có:
$(sinx)'=\displaystyle\lim_{\Delta\to0}\displaystyle\dfrac{\sin(x+\Delta)-\sin{x}}{x+\Delta-x}=\displaystyle\lim_{\Delta\to0}\dfrac{2\cos\left ( x+\dfrac{\Delta}{2} \right)\sin\left ( \dfrac{\Delta}{2} \right)}{\Delta}=\displaystyle\lim_{\Delta\to0}\dfrac{2\cos(x)\dfrac{\Delta}{2}}{\Delta}$$=\cos{x}$
Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được $(\cos{x})'=-\sin{x}$

Bài toán 3: Chứng minh $(\tan{x})'=\dfrac{1}{\cos^2{x}}$
Ta có:
$(\tan{x})'=\left ( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \right)'=\dfrac{(\sin{x})'\cos{x}-(\cos{x})'\sin{x}}{\cos^2{x}}=\dfrac{\cos^2{x}+\sin^2{x}}{\cos^2{x}}=\dfrac{1}{\cos^2{x}}$
Hoàn toàn tương tự ta cũng được $(\cot{x})'=-\dfrac{1}{\sin^2{x}}$

Ta đã hoàn thành việc chứng minh công thức đạo hàm của các hàm lượng giác cơ bản.
Nhận xét: Có thể thấy bài toán 1 là then chốt trong những phép chứng minh này.