Bài toán cũ - Lời giải mới

Cho mạch điện có R,L,C cố định và f sao cho $U_{Cmax}$.

Tìm tan$\varphi_{RL}$tan$\varphi$=?

Giải:

Qui ước điện áp 2 đầu mạch là AB, M là điểm nằm giữa L và R, N là điểm nằm giữa R và C. Ta nhận thấy đoạn mạch có tính dung kháng vì $U_{Cmax}$.Ta dựng giản đồ vector theo trở kháng của đoạn mạch. Gọi tan$\varphi_{RL}$=a và -tan$\varphi$=b
Dựng AH$\bot$NB (H$\in$NB)
Ta được: NH=AH.tan$\varphi_{RL}$=AH.a
              HB=AH.(-tan$\varphi$)=AH.b
$\Rightarrow$ NB=NH+HB=AH(a+b) $\Rightarrow$ NH.NB=AH.a.AH(a+b)=$AH^{2}$a(a+b) 
Nhận xét: Vì R,L,C cố định nên $\frac{Z_{C}.Z_{L}}{R^{2}}$=$\frac{NH.NB}{AH^{2}}$=$a(a+b)$ cố định
Gọi $a(a+b)$=t
Để $U_{Cmax}$ thì $\frac{Z_{C}}{Z}$max 
$\Leftrightarrow$ $\frac{NB}{AB}$max (theo giản đồ vector)
$\Leftrightarrow$ $\frac{AH(a+b)}{\frac{AH}{cos\varphi}}$max
$\Leftrightarrow$$(a+b)cos\varphi$ max
$\Leftrightarrow$$\frac{a+b}{\sqrt{tan^2\varphi+1}}$max
$\Leftrightarrow$ $\frac{(a+b)}{\sqrt{b^{2}+1}}$max (Vi -tan$\varphi$=b)
Bài toán ban đầu tương đương với bài cực trị sau: Tìm GTLN $\frac{(a+b)}{\sqrt{b^{2}+1}}$ biết $a(a+b)=t$
Ta có $a^{2}$= t-ab và $a+b$= $\frac{t}{a}$ 
Để $\frac{(a+b)}{\sqrt{b^{2}+1}}$max
$\Leftrightarrow$ $\frac{(a+b)^{2}}{(b^{2}+1)}$max
$\Leftrightarrow$ $\frac{t^{2}}{a^{2}(b^{2}+1)}$max
$\Leftrightarrow$ $[(ab)^{2}+a^{2}]$min (Vì t=const)
$\Leftrightarrow$ $[(ab)^{2}-ab+t]$min
$\Leftrightarrow$ $ab=\frac{1}{2}$
Vậy tan$\varphi_{RL}$tan$\varphi$=$-ab$=$-\frac{1}{2}$